AOJ GRL_6_A : Maximum Flow

AOJ GRL_6_A : Maximum Flow に関連する、ネットワークフローの最大フロー最小カット定理についてのメモを残します。

参考

• 「プログラミングコンテストチャレンジブック」(蟻本)

  プログラミングコンテストチャレンジブック [第2版]　～問題解決のアルゴリズム活用力とコーディングテクニックを鍛える～

面白い

「ネットワークフロー」とは何なのか、については、

• ‪実世界で超頻出！二部マッチング (輸送問題、ネットワークフロー問題）の解法を総整理！‬ - Qiita

この記事で説明されていて、面白いです。
ネットワークフローは、グラフ理論で登場するグラフの一種ですが、そもそも「グラフ」とは何なのか、については、

• DFS (深さ優先探索) 超入門！ 〜 グラフ・アルゴリズムの世界への入口 〜【前編】 - Qiita

この記事で簡単に説明されています。

最大流問題

から へ単位時間当たり最大でどれだけのデータを送れるか (最大流) を求める問題。このような問題を最大流問題という。
最大流を求める方法として Ford-Fulkerson のアルゴリズムが知られている。

1. 残余グラフにおいて、 から へのパスを見つける
2. そのようなパスが無ければ終了。パスが存在したら、そのパスに流せるだけ流し、1. に戻る

下図は、 → 1 → 2 → のパスに 5 流したときの残余グラフで、辺に添えられた数は、辺の残り容量を表す。

このあと、 → 1 → 3 → のパスに 5 流し、さらに、 → 2 → 1 → 3 → のパスに 1 流すと、残余グラフは下図のようになる。

から へのパスは存在しないので、これで終了。最大流は 11 Mbps であることがわかった。

最大フロー最小カット定理

Ford-Fulkerson のアルゴリズムによって最大流が正しく求められることを示す。

任意の フロー と任意の カット (、、、) について、
　 ( から出る辺の流量) ( から出る辺の流量)
ここで、 から出る辺の流量、 から出る辺の流量はともに非負であり、辺の流量が辺の容量を超えることはないので、
　 ( から出る辺の容量) ( の容量) ... (1)
となることがわかる。

次に、Ford-Fulkerson のアルゴリズムによって得られた フロー に注目する。
残余グラフにおいて、 から到達可能な頂点集合を 、集合 とすると、 は カットである。

また、 から へ向かう辺は存在せず、もとのグラフにおいて、
　( から出る辺の流量) ( から出る辺の容量) ( の容量)、
　( から出る辺の流量) 0
下図は、もとのグラフで、辺に添えられた数は、辺の流量を表す。また、赤色の辺は、カット に属する。

したがって、
　 ( から出る辺の流量) ( から出る辺の流量) ( の容量)
これと (1) から、Ford-Fulkerson のアルゴリズムによって得られたフロー は最大流であり、 は最小カットであることがわかる。

実装

• 問題 : AOJ GRL_6_A : Maximum Flow

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 1000000007;
struct Edge { int to, cap, rev; };  // 行き先, 容量, 逆辺(index)
vector<vector<Edge>> G;
vector<bool> used;

// from から to へ向かう辺 (容量 cap) と逆辺をグラフに追加
void addEdge(int from, int to, int cap) {
  Edge e1 = { to, cap, (int)G.at(to).size() };
  G.at(from).push_back(e1);
  Edge e2 = { from, 0, (int)G.at(from).size() - 1 };
  G.at(to).push_back(e2);
}

// 増加パスを 1 つ見つけて、流量を返す
int dfs(int v, int t, int f) {
  if (v == t) return f;  // ゴールに到着
  used.at(v) = true;  // 訪問済み
  for (auto &e : G.at(v)) {
    // まだ容量の残っている隣接頂点に流したい
    if (!used.at(e.to) && e.cap > 0) {
      int d = dfs(e.to, t, min(f, e.cap));
      if (d > 0) {
        e.cap -= d;
        G.at(e.to).at(e.rev).cap += d;  // 逆辺
        return d;
      }
    }
  }
  return 0;  // 増加パスが存在しない
}

// 始点 s、終点 t の最大流を返す
int maxFlow(int s, int t) {
  int flow = 0;
  while (true) {
    fill(used.begin(), used.end(), false);
    int f = dfs(s, t, INF);  // 増加パスを 1 つ見つける
    if (f == 0) return flow;  // 増加パスが存在しない
    flow += f;
  }
}

int main() {
  int V, E; cin >> V >> E;
  G.resize(V);
  used.resize(V);
  for (int i = 0; i < E; i++) {
    int u, v, c; cin >> u >> v >> c;
    addEdge(u, v, c);
  }
  cout << maxFlow(0, V-1) << endl;
}