EDPC M - Candies

EDPC M - Candies についてのメモを残します。

累積和の利用

• 問題 : EDPC M - Candies

番目の子どもまでで 個の飴を余りなく分け合う方法の総数

とし、 とする。
、 のとき、dp テーブルは下図のようになる。

疑似コードは以下の通り。

for i = 0 to N-1
  for j = 0 to K
    for k = 0 to a[i]
      dp[i+1][j+k] += dp[i][j]

これだと で TLE となってしまうので、工夫が求められる。
からの遷移は、区間 に を加算しているので、いもす法を使って累積和を求める。

for i = 0 to N-1
  for j = 0 to K
    dp[i+1][j] += dp[i][j]
    dp[i+1][j+a[i]+1] -= dp[i][j]
  for j = 0 to K-1
    dp[i+1][j+1] += dp[i+1][j]

これで計算量は に抑えられる。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MOD = 1000000007;

// val を m で割った余りを返す (負の余りは m を足す)
long long mod(long long val, long long m) {
  long long res = val % m;
  if (res < 0) res += m;
  return res;
}

int main() {
  int N, K; cin >> N >> K;
  vector<int> A(N);
  for (int i = 0; i < N; i++) cin >> A[i];
  // dp[i][j] := i 番目の子どもまでで j 個の飴を分け合う方法の総数
  vector<vector<long long>> dp(N+1, vector<long long>(K+1, 0));
  dp[0][0] = 1;
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    for (int j = 0; j <= K; j++) {
      // dp[i+1][*] への遷移 : 区間 [j, j + a_i] に dp[i][j] を加算
      dp[i+1][j] += dp[i][j];
      dp[i+1][j] = mod(dp[i+1][j], MOD);
      if (j+A[i]+1 <= K) {
        dp[i+1][j+A[i]+1] -= dp[i][j];
        dp[i+1][j+A[i]+1] = mod(dp[i+1][j+A[i]+1], MOD);
      }
    }
    for (int j = 0; j < K; j++) {
      dp[i+1][j+1] += dp[i+1][j];
      dp[i+1][j+1] = mod(dp[i+1][j+1], MOD);
    }
  }
  cout << dp[N][K] << endl;
}